LeetCode 69 - x 的平方根 - Felix021

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用 go channel 实现素数迭代器、二叉查找树比较

Mar 31

LeetCode 69 - x 的平方根

felix021 @ 2019-3-31 15:34 [IT » 程序设计] 评论(1) , 引用(0) , 阅读(2854) | Via 本站原创

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这是罗凯同学布置的 Golang 学习作业。

这题之前用 Python 刷过，用的是二分法，在 [1, n / 2] 区间内，找到第一个 x，使得 x ^ 2 <= n < (x + 1) ^ 2 ，用的是 STL 中 lowerbound 的算法。

class Solution(object):
def mySqrt(self, x):
"""
:type x: int
:rtype: int
"""
if x < 0:
raise Exception("invalid input")
if x < 2:
return x

left = 1
length = x / 2
while length > 1:
half = length / 2
middle = left + half
if middle * middle > x:
length = half
else:
left = middle
length = length - half
return left

罗凯同学提到，应该使用牛顿迭代法来完成。这个方法是听说过的，但是早就忘了，于是到 wikipedia 去找了一下：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E6%B3%95

求函数 f(x) 的零点，可以通过选取曲线上的任意一个点 x0 开始，然后计算 x1 = x0 - f(x1) / f'(x1) 的方式迭代，通常得到一个比 x0 更接近零点的 x1 。通过不断迭代，最终我们能找到一个零点 xn 。

对于求平方根，我们是要找到一个 x，使得 x ^2 - n = 0，也就是这里的 f(x) = x ^ 2 - n, f'(x) = 2 * x （勉强还记得这个求导公式……）

有了这个，答案就呼之欲出了：

import "math"

func mySqrt(x int) int {
f := func (i float64) float64 {
return i * i - float64(x)
}
g := func (i float64) float64 {
return 2 * i
}
var i float64 = 1.0
for math.Abs(f(i)) > 1e-6 {
i = i - f(i) / g(i)
}
return int(math.Floor(i))
}

做完以后，我想起 Quake III 的作者 John Carmack 的平方根倒数速算法，摘录一段内容：( src: https://blog.csdn.net/zyex1108/article/details/53540824 )

引用

Quake-III Arena (雷神之锤3)是90年代的经典游戏之一。该系列的游戏不但画面和内容不错，而且即使计算机配置低，也能极其流畅地运行。这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马克（John Carmack）。事实上早在90年代初DOS时代，只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候，John Carmack就推出了石破天惊的Castle Wolfstein, 然后再接再励，doom, doomII, Quake...每次都把3-D技术推到极致。他的3D引擎代码资极度高效，几乎是在压榨PC机的每条运算指令。

这个平方根倒数算法正是其中的一个例子。在3D游戏引擎中，求取照明和投影的波动角度与反射效果时，常需计算平方根倒数，而求平方根的常用算法效率较低。

Carmack 通过使用一个惊为天人的魔术常量 0x5f3759df，只需要做 1 次迭代（Quaker III源码中的为了提高精度的第二次迭代被注视掉了），就能得到一个足够精度的平方根，大幅提高了 3D 引擎的运行效率。

关于这个魔术常量，Carmack 表示并不是他自己发明的，至今为止仍未能确切知晓算法中所使用的特殊常数的起源。但 Carmack 凭一己之力，撑起了一个 3D 引擎的时代，以至于在1999年，登上了美国时代杂志评选出来的科技领域50大影响力人物榜单，并且名列第10位。

感兴趣的同学，可以在 Wikipedia 的平方根倒数速算法了解更多细节：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%80%92%E6%95%B0%E9%80%9F%E7%AE%97%E6%B3%95

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